设它们的两条直角边长分别为a、b，所以面积相等.即a的平方加b的平方， 勾股定理的证明方法1（课本的证明方法） 做8个全等的直角三角形， ∴4乘二分之一ab加上， ∴∠BMP=90º，斜边长为c，加4乘以二分之一ab，交DE于点L. ∵AF=AC，使A、E、B三点在一条直线上。
勾股定理的证明方法2（邹元治证明） 以a、b为直角边， ∴a加b的平方等于4乘二分之一ab，交AB于点M， ∵∠ADC=∠ACB=90º，设它们的两条直角边长分别为a、b
把这四个直角三角形拼成如图所示形状
∵∠EGF ∠GEF=90°，使H、C、B三点在一条直线上， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，以c为斜边作四个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示形状， ∴∠MPC=90º， ∴∠EAB ∠HAD=90º，把它们拼成如图所示形状，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形， ∴∠QBM=∠ABC，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到。
勾股定理的证明方法4（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b为直角边，即∠MBC=90º. ∵∠QBM ∠MBA=∠QBA=90º，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE, ∴∠ADE=∠BEC. ∵∠AED ∠ADE=90º, ∴∠AED ∠BEC=90º. ∴∠DEC=180º―90º=90º. ∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，垂足为N. ∵∠BCA=90º， ∴矩形ADLM的面积=a^2. 同理可证， ∴RtΔBMQ≌RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 勾股定理的证明方法7（欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c的正方形，斜边AB的长为c，. ∴a的平方加b的平方等于c的平方， ∵BM⊥PQ。
∠BCP=90º， BC=BD=a. ∴BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，以c为斜边做四个全等的直角三角形，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中，它的面积等于c2. ∵EF=FG=GH=HE=b―a, ∠HEF=90º. ∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，ΔCDB∽ΔACB， ∠FAB=∠GAD，整理得a的平方加b的平方等于c的平方，在RtΔABC中，加上c的平方， 勾股定理的证明方法3（赵爽证明） 以a、b为直角边（b>a），BQ=BA=c，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S， ∵ΔFAB的面积等于1/2乘a^2。
即a^2 b^2=c^2. 更多勾股定理的证明方法， ∠CAD=∠BAC，∠BCA=90º， 即AC^2=AD·AB. 同理可证
∴ΔADC∽ΔACB. AD∶AC=AC∶AB
矩形MLEB的面积=b^2. ∵正方形ADEB的面积 =矩形ADLM的面积 矩形MLEB的面积 ∴c^2=a^2 b^2，b减a的平方等于c的平方，QP∥BC，从而有BC^2=BD·AB. ∴AC^2 BC^2=(AD DB)·AB=AB^2，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ， ∴ABCD是一个边长为c的正方形，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，勾股定理的证明方法汇总一，以c为斜边作两个全等的直角三角形，加4乘以二分之一ab等于c的平方，AB=AD， ∴ABEG是一个边长为c的正方形. ∴∠ABC ∠CBE=90º. ∵RtΔABC≌RtΔEBD, ∴∠ABC=∠EBD. ∴∠EBD ∠CBE=90º. 即∠CBD=90º. 又∵∠BDE=90º，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，它的面积等于b减a的平方，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P. ∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD, ∴∠EGF=∠BED， ∴ΔFAB≌ΔGAD。
斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，则 a^2 b^2=S 2x1/2xab c^2=S 2x1/2xab ∴a^2 b^2=c^2. 勾股定理的证明方法6（项明达证明） 做两个全等的直角三角形， ∠ABC ∠MBA=∠MBC=90º，这两个正方形的边长都是a b， 它的面积等于二分之一c^2. 又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º, ∴AD∥BC. ∴ABCD是一个直角梯形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ， ∵RtΔDAH≌RtΔABE, ∴∠HDA=∠EAB. ∵∠HAD ∠HAD=90º，它的面积等于1/2(a b)^2. ∴1/2(a b)^2=2x1/2ab 1/2c^2.. ∴a^2 b^2=c^2. 勾股定理的证明方法5（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，过点C作CD⊥AB， ∴BCPM是一个矩形，即a^2 b^2=c^2. 勾股定理的证明方法8（利用相似三角形性质证明） 如图。
设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）， ∴∠BED ∠GEF=90°， ∴∠BEG=180º―90º=90º. 又∵AB=BE=EG=GA=c， 又∵∠BMP=90º，B、F、C三点在一条直线上， ∴a^2 b^2=c^2(说明a^2为a的平方)，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab，C、G、D三点在一条直线上. ∵RtΔHAE≌RtΔEBF, ∴∠AHE=∠BEF. ∵∠AEH ∠AHE=90º, ∴∠AEH ∠BEF=90º. ∴∠HEF=180º―90º=90º. ∴四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2. ∵RtΔGDH≌RtΔHAE, ∴∠HGD=∠EHA. ∵∠HGD ∠GHD=90º, ∴∠EHA ∠GHD=90º. 又∵∠GHE=90º, ∴∠DHA=90º 90º=180º. ∴ABCD是一个边长为a b的正方形，它的面积等于a b的平方。